Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Nguyên hàm.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 1. Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số kia?
a) ${e^{ – x}}$ và $ – {e^{ – x}}.$
b) $sin 2x$ và ${sin ^2}x.$
c) ${left( {1 – frac{2}{x}} right)^2}{e^x}$ và $left( {1 – frac{4}{x}} right){e^x}.$Lời giải:
a) Hàm số ${e^{ – x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $ – {e^{ – x}}$ và hàm số $ – {e^{ – x}}$ cũng là một nguyên hàm của hàm số ${e^{ – x}}$ vì: $left( {{e^{ – x}}} right)’ = – {e^{ – x}}$ và $left( { – {e^{ – x}}} right)’ = {e^{ – x}}.$
b) Hàm số ${sin ^2}x$ là một nguyên hàm của hàm số $sin 2x$ vì: $left( {{{sin }^2}x} right)’ = sin 2x.$
c) Ta có: $left[ {left( {1 – frac{4}{x}} right){e^x}} right]’$ $ = {e^x}.frac{4}{{{x^2}}} + {e^x}left( {1 – frac{4}{x}} right)$ $ = {e^x}left( {frac{4}{{{x^2}}} + 1 – frac{4}{x}} right)$ $ = {e^x}{left( {1 – frac{2}{x}} right)^2}.$
Vậy: $left( {1 – frac{4}{x}} right){e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số ${e^x}{left( {1 – frac{2}{x}} right)^2}$ với mọi $x ne 0.$Bài 2. Tìm một nguyên hàm của các hàm số dưới đây:
a) $f(x) = frac{{x + sqrt x + 1}}{{sqrt[3]{x}}}.$
b) $f(x) = frac{{{2^x} – 1}}{{{e^x}}}.$
c) $f(x) = frac{1}{{{{sin }^2}x.{{cos }^2}x}}.$
d) $f(x) = sin 5x.cos 3x.$
e) $f(x) = {tan ^2}x.$
g) $f(x) = {e^{3 – 2x}}.$
h) $f(x) = frac{1}{{(1 + x)(1 – 2x)}}.$Lời giải:
a) Ta có: $f(x) = frac{{x + sqrt x + 1}}{{sqrt[3]{x}}}$ $ = frac{x}{{{x^{frac{1}{3}}}}} + frac{{{x^{frac{1}{2}}}}}{{{x^{frac{1}{3}}}}} + frac{1}{{{x^{frac{1}{3}}}}}$ $ = {x^{frac{2}{3}}} + {x^{frac{1}{6}}} + {x^{ – frac{1}{3}}}.$
Suy ra nguyên hàm của $f(x)$ là: $frac{3}{5}{x^{frac{5}{3}}} + frac{6}{7}{x^{frac{7}{6}}} + frac{3}{2}{x^{frac{2}{3}}}.$
b) $frac{{{2^x} + 1 – ln 2}}{{{e^x}(1 – ln 2)}}.$
c) $ – 2cot 2x.$
d) $sin x + cos x.$
e) $tan x – x.$
g) $ – frac{1}{2}{e^{3 – 2x}}.$
h) $frac{1}{3}ln left| {frac{{1 + x}}{{1 – 2x}}} right|.$Bài 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số hãy tính:
a) $int {{{(1 – x)}^9}} dx.$
b) $int x {left( {1 + {x^2}} right)^{frac{3}{2}}}dx.$
c) $int {{{cos }^3}} x.sin xdx.$
d) $int {frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} .$Lời giải:
a) Đặt $u = 1 – x$ ta có $du = – dx.$
Do đó: $int {{{(1 – x)}^9}} dx$ $ = – int {{u^9}} du$ $ = – frac{1}{{10}}{u^{10}} + C.$
Thay $u = 1 – x$, ta được: $int {{{(1 – x)}^9}} dx$ $ = – frac{1}{{10}}{(1 – x)^{10}} + C.$
b) Đặt $u = 1 + {x^2}$ ta có: $du = 2xdx$ $ Rightarrow xdx = frac{{du}}{2}.$
Do đó: $int x {left( {1 + {x^2}} right)^{frac{3}{2}}}dx$ $ = frac{1}{2}int {{u^{frac{3}{2}}}} du$ $ = frac{1}{2}.frac{1}{{frac{3}{2} + 1}}{u^{frac{3}{2} + 1}} + C$ $ = frac{1}{5}{u^{frac{5}{2}}} + C.$
Thay $u = 1 + {x^2}$, ta được: $int x {left( {1 + {x^2}} right)^{frac{3}{2}}}dx$ $ = frac{1}{5}{left( {1 + {x^2}} right)^{frac{5}{2}}} + C.$
c) Đặt $u = cos x$ ta có: $du = – sin xdx.$
Do đó: $int {{{cos }^3}} x.sin xdx$ $ = – int {{u^3}} du$ $ = – frac{1}{4}{u^4} + C.$
Thay $u = cos x$, ta được: $int {{{cos }^3}} x.sin xdx$ $ = – frac{1}{4}{cos ^4}x + C.$
d) Đặt $u = {e^x}$ ta có $du = {e^x}dx.$
Do đó: $int {frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} $ $ = int {frac{{dx}}{{{e^x} + frac{1}{{{e^x}}} + 2}}} $ $ = int {frac{{du}}{{{u^2} + 2u + 1}}} $ $ = int {frac{{du}}{{{{(u + 1)}^2}}}} $ $ = int {frac{{d(u + 1)}}{{{{(u + 1)}^2}}}} .$
$ = int {{{(u + 1)}^{ – 2}}} d(u + 1)$ $ = – {(u + 1)^{ – 1}} + C$ $ = – frac{1}{{u + 1}} + C.$
Thay $u = {e^x}$, ta được: $int {frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} $ $ = – frac{1}{{{e^x} + 1}} + C.$
Cách khác:
Ta có: $int {frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} $ $ = int {frac{{dx}}{{{e^x} + frac{1}{{{e^x}}} + 2}}} $ $ = int {frac{{{e^x}dx}}{{{{left( {{e^x} + 1} right)}^2}}}} $ $ = int {frac{{dleft( {{e^x} + 1} right)}}{{{{left( {{e^x} + 1} right)}^2}}}} .$
$ = int {{{left( {{e^x} + 1} right)}^{ – 2}}} dleft( {{e^x} + 1} right)$ $ = – frac{1}{{{e^x} + 1}} + C.$Bài 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) $int x ln (1 + x)dx.$
b) $int {left( {{x^2} + 2x – 1} right){e^x}dx} .$
c) $int x sin (2x + 1)dx.$
b) $int {(1 – x)} cos xdx.$Lời giải:
a) Đặt $u = ln (1 + x)$, $dv = xdx$ ta có: $du = frac{1}{{1 + x}}dx$, $v = frac{{{x^2}}}{2}.$
Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
$int x ln (1 + x)dx$ $ = frac{{{x^2}}}{2}ln (1 + x) – frac{1}{2}int {frac{{{x^2}}}{{1 + x}}dx} .$
$ = frac{{{x^2}}}{2}ln (1 + x)$ $ – frac{1}{2}int {frac{{{x^2} – 1 + 1}}{{1 + x}}dx} $ $ = frac{{{x^2}}}{2}ln (1 + x)$ $ – frac{1}{2}int {left( {x – 1 + frac{1}{{1 + x}}} right)dx.} $
$ = frac{{{x^2}}}{2}ln (1 + x)$ $ – frac{1}{2}int {(x – 1)dx} $ $ – frac{1}{2}int {frac{{dx}}{{1 + x}}} .$
$ = frac{{{x^2}}}{2}ln (1 + x)$ $ – frac{1}{2}left( {frac{{{x^2}}}{2} – x} right)$ $ – frac{1}{2}ln (1 + x) + C.$
$ = frac{{{x^2}}}{2}ln (1 + x)$ $ – frac{{{x^2}}}{4} + frac{x}{2}$ $ – frac{1}{2}ln (1 + x) + C$ $ = frac{1}{2}left( {{x^2} – 1} right)ln (1 + x)$ $ – frac{{{x^2}}}{4} + frac{x}{2} + C.$
b) $int {left( {{x^2} + 2x – 1} right){e^x}dx} .$
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^2} + 2x – 1}\
{dv = {e^x}dx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2(x + 1)dx}\
{v = {e^x}}
end{array}} right..$
Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
$int {left( {{x^2} + 2x – 1} right){e^x}dx} $ $ = left( {{x^2} + 2x – 1} right){e^x}$ $ – 2int {(x + 1){e^x}dx} .$
Lại đặt: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x + 1}\
{d{v_1} = {e^x}dx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = dx}\
{{v_1} = {e^x}}
end{array}} right..$
Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
$int {(x + 1){e^x}dx} $ $ = (x + 1){e^x} – int {{e^x}} dx$ $ = (x + 1){e^x} – {e^x} + {C_1}$ $ = x{e^x} + {C_1}.$
Vậy $int {left( {{x^2} + 2x – 1} right){e^x}dx} $ $ = left( {{x^2} + 2x – 1} right){e^x} – 2x{e^x} + C$ $ = left( {{x^2} – 1} right){e^x} + C.$
c) Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\
{dv = sin (2x + 1)dx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\
{v = – frac{1}{2}cos (2x + 1)}
end{array}} right..$
Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
$int x sin (2x + 1)dx$ $ = – frac{1}{2}x.cos (2x + 1)$ $ + frac{1}{2}int {cos (2x + 1)dx} .$
$ = – frac{1}{2}xcos (2x + 1)$ $ + frac{1}{4}int {cos (2x + 1)d(2x + 1)} .$
$ = – frac{1}{2}xcos (2x + 1)$ $ + frac{1}{4}sin (2x + 1) + C.$
d) Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = 1 – x}\
{dv = cos xdx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = – dx}\
{v = sin x}
end{array}} right..$
Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
$int {(1 – x)} cos xdx$ $ = (1 – x)sin x + int {sin xdx} $ $ = (1 – x)sin x – cos x + C.$
Để lại một phản hồi