Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Nguyên hàm.CÂU HỎI VÀ BÀI TẬPBài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = 3{x^2} + frac{x}{2}.$
b) $f(x) = 2{x^3} – 5x + 7.$
c) $f(x) = frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – frac{1}{3}.$
d) $f(x) = {x^{ – frac{1}{3}}}.$
e) $f(x) = {10^{2x}}.$Lời giải:
a) Ta có: $int {left( {3{x^2} + frac{x}{2}} right)dx} $ $ = int 3 {x^2}dx + int {frac{x}{2}} dx$ $ = {x^3} + frac{{{x^2}}}{4} + C.$
Vậy nguyên hàm của hàm số: $f(x) = 3{x^2} + frac{x}{2}$ là $F(x) = {x^3} + frac{{{x^2}}}{4} + C.$
b) Tương tự câu a ta có: $int {left( {2{x^3} – 5x + 7} right)dx} $ $ = frac{{{x^4}}}{2} – frac{5}{2}{x^2} + 7x + C.$
c) Xét $int {left( {frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – frac{1}{3}} right)dx} $ $ = int {left( {{x^{ – 2}} – {x^2} – frac{1}{3}} right)dx} $ $ = frac{{{x^{ – 1}}}}{{ – 1}} – frac{{{x^3}}}{3} – frac{1}{3}x + C.$
$ = – frac{1}{x} – frac{{{x^3}}}{3} – frac{1}{3}x + C.$
d) Xét: $int {left( {{x^{ – frac{1}{3}}}} right)dx} $ $ = frac{{{x^{ – frac{1}{3} + 1}}}}{{ – frac{1}{3} + 1}}$ $ = frac{{{x^{frac{2}{3}}}}}{{frac{2}{3}}} + C$ $ = frac{3}{2}sqrt[3]{{{x^2}}} + C.$
e) Ta có: $int 1 {0^{2x}}dx = frac{{{{10}^{2x}}}}{{2.ln 10}} + C.$Bài 2. Tìm:
a) $int {(sqrt x + sqrt[3]{x})dx} .$
b) $int {frac{{xsqrt x + sqrt x }}{{{x^2}}}dx} .$
c) $int 4 {sin ^2}xdx.$
d) $int {frac{{1 + cos 4x}}{2}dx} .$Lời giải:
a) Ta có: $int {(sqrt x + sqrt[3]{x})dx} $ $ = int {left( {{x^{1/2}} + {x^{1/3}}} right)dx} $ $ = frac{{{x^{frac{1}{2} + 1}}}}{{frac{1}{2} + 1}} + frac{{{x^{frac{1}{3} + 1}}}}{{frac{1}{3} + 1}} + C.$
$ = 2frac{{xsqrt x }}{3} + frac{3}{4}xsqrt[3]{x} + C.$
b) Ta có: $int {frac{{xsqrt x + sqrt x }}{{{x^2}}}dx} $ $ = int {left( {frac{{sqrt x }}{x} + frac{{sqrt x }}{{{x^2}}}} right)dx} $ $ = int {left( {{x^{ – 1}}.{x^{1/2}} + {x^{ – 2}}.{x^{1/2}}} right)dx} .$
$ = int {left( {{x^{ – 1/2}} + {x^{ – 3/2}}} right)dx} $ $ = frac{{{x^{ – frac{1}{2} + 1}}}}{{ – frac{1}{2} + 1}} + frac{{{x^{ – frac{3}{2} + 1}}}}{{ – frac{3}{2} + 1}} + C$ $ = 2sqrt x – 2frac{1}{{sqrt[3]{x}}} + C.$
c) Ta có: $int 4 {sin ^2}xdx$ $ = 2int {(1 – cos 2x)dx} $ $ = 2left( {x – frac{1}{2}sin 2x} right) + C$ $ = 2x – sin 2x + C.$
d) Ta có: $int {frac{{1 + cos 4x}}{2}dx} $ $ = frac{1}{2}int {(1 + cos 4x)dx} $ $ = frac{1}{2}left( {x + frac{1}{4}sin 4x} right) + C.$
$ = frac{1}{2}x + frac{1}{8}sin 4x + C.$Bài 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Nguyên hàm của hàm $y = x.sin x$ là:
(A) ${x^2}sin frac{x}{2} + C.$
(B) $ – x.cos x + C.$
(C) $ – x cdot cos x + sin x + C.$Lời giải:
Khẳng định (C). Có thể dùng nguyên hàm từng phần:
Đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\
{dv = sin xdx}
end{array}} right.$ $ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\
{v = – cos x}
end{array}} right..$
$ Rightarrow int x sin xdx$ $ = – xcos x + int {cos xdx} $ $ = – xcos x + sin x + C.$Bài 4. Khẳng định sau đúng hay sai:
Nếu $f(x) = (1 – sqrt x )’$ thì $int f (x)dx = – sqrt x + C.$Lời giải:
Khẳng định đúng.
Vì: $f(x) = (1 – sqrt x )’ = ( – sqrt x )’.$
Để lại một phản hồi